Главная » Diy » Свойства числовых последовательностей. Способы задания числовых последовательностей

Свойства числовых последовательностей. Способы задания числовых последовательностей

Урок № 32 Дата ____________

Алгебра

Класс: 9 «Б»

Тема: « Числовая последовательность и способы её задания».

Цель урока: учащиеся должны знать, что такое числовая последовательность; способы задания числовой последовательности; уметь различать различные способы задания числовых последовательностей.

Дидактические материалы: раздаточный материал, опорные конспекты.

Технические средства обучения: презентация по теме «Числовые последовательности».

Ход урока.

1.Организационный момент.

2.Постановка целей урока.

Сегодня на уроке вы, ребята, узнаете:

Что такое последовательность?

Какие виды последовательностей существуют?

Как задаётся числовая последовательность?

Научитесь записывать последовательность с помощью формулы и множества ее элементов.

Научитесь находить члены последовательности.

3.Работа над изучаемым материалом.

3.1. Подготовительный этап.

Ребята, давайте проверим ваши логические способности. Я называю несколько слов, а вы должны продолжить:

–понедельник, вторник,…..

– январь, февраль, март…;

– Глебова Л, Гановичев Е, Дряхлов В, Ибраева Г,…..(список класса);

–10,11,12,…99;

Из ответов ребят делается вывод, что вышеназванные задания – это последовательности, то есть какой-то упорядоченный ряд чисел или понятий, когда каждое число или понятие стоит строго на своем месте, и, если поменять местами члены, то последовательность нарушится (вторник, четверг, понедельник – это просто перечисление дней недели). Итак, тема урока – числовая последовательность.

3.1. Объяснение нового материала. (Демонстрационный материал)

Анализируя ответы учащихся, дать определение числовой последовательности и показать способы задания числовых последовательностей.

(Работа с учебником с. 66 – 67)

Определение 1. Функцию y = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... или (y n).

В данном случае независимая переменная – натуральное число.

Чаще всего последовательности будем обозначать так: (а n ), (b n ), (с n ) и т.д.

Определение 2. Члены последовательности .

Элементы, образующие последовательность, называются членами последовательности.

Новые понятия: предыдущий и последующий член последовательности,

а 1 …а п. (1-ый и п-ый член последовательности)

Способы задания числовой последовательности.

Аналитический способ.

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.(демонстрационный материал)

Разобрать примеры

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.

Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C;

C, C, C, ...,C, ... .

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Пример 4 . Последовательность y = 2 n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1. Приближения числа π.

Пример 2. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Пример 3. Последовательность чисел делящихся на 5.

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

Рекуррентный способ.

Рекуррентный способ заключается в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если указаны ее несколько первых членов (как минимум один первый член) и формула, позволяющая по предыдущим членам вычислить ее следующий член. Термин рекуррентный произошло от латинского слова recurrere , что означает возвращаться . При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, вычисляя следующий член на основе предыдущего. Особенностью этого способа является то, что для определения, например, 100-го члена последовательности необходимо сначала определить все предыдущие 99 членов.

Пример 1 . a 1 =a, a n+1 =a n +0,7. Пусть a 1 =5, тогда последовательность будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

Пример 2. b 1 = b, b n +1 = ½ b n . Пусть b 1 =23, тогда последовательность будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 , если n=3, 4, 5, 6, ... . Она будет иметь вид:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (п -ый член этой последовательности равен сумме двух предыдущих членов)

Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:

Дополнительная информация:

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был значительным математиком средневековья. С помощью данной последовательности Фибоначчи определил число φ (фи); φ=1,618033989.

Графический способ

Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер, а по вертикальной – значение соответствующего члена последовательности.

Для закрепления способов задания прошу привести несколько примеров последовательностей, которые задаются или словесным, или аналитическим, или рекуррентным способом.

Виды числовых последовательностей

( На перечисленных ниже последовательностях отрабатываются виды последовательностей ).

Работа с учебником стр.69-70

1) Возрастающая – если каждый член меньше следующего за ним, т.е. a n a n +1.

2) Убывающая – если каждый член больше следующего за ним, т.е. a n a n +1 .

3) Бесконечная.

4) Конечная.

5) Знакочередующаяся.

6) Постоянная (стационарная).

Возрастающую или убывающую последовательность называют монотонными.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

–1; 2; –3; 4; –5; …
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Работа с учебником: выполним устно №150, 159 стр.71, 72

3.2. Закрепление нового материала. Решение задач.

Для закрепления знаний выбираются примеры в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (y n):

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Решение.

а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.

б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n.

Пример 2 . Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 , если n = 3, 4, 5, 6, ... .

Решение.

Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.

Пример 3. Последовательность (y n) задана рекуррентно: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . Задать эту последовательность аналитически.

Решение.

Найдём несколько первых элементов последовательности.

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

y 4 =5y 3 -6y 2 =20-12=8;

y 5 =5y 4 -6y 3 =40-24=16;

y 6 =5y 5 -6y 4 =80-48=32;

y 7 =5y 6 -6y 5 =160-96=64.

Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., которую можно представить в виде

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2 n -1 .

Пример 4. Дана последовательность y n =24n+36-5n 2 .

а) Сколько в ней положительных членов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5x 2 +24x+36, где x

а) Найдём значения функции, при которых -5x 2 +24x+360. Решим уравнение -5x 2 +24x+36=0.

D = b 2 -4ac=1296, X 1 =6, X 2 =-1,2.

Уравнение оси симметрии параболы y = -5x 2 +24x+36 можно найти по формуле x=, получим: x=2,4.

Неравенство -5x 2 +24x+360 выполняется при -1,2 В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.

б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y 2 =64.

в) Наименьшего элемента нет.

3.4.Задания для самостоятельной работы

Практическая работа № 13

Задание числовых последовательностей различными способами, вычисление членов последовательности. Нахождение пределов последовательностей и функций

Цель: научиться записывать числовые последовательности различными способами, описывать их свойства; находить пределы последовательностей и функций.

Краткая теория

Функция у=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: у n =f(n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Рекуррентный способ. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Числовую последовательность называют возрастающей , если ее члены возрастают (у n+1 у n) и убывающей, если ее члены убывают (у n+1 n).

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными .

Пусть – точка прямой, а – положительное число. Интервал называется окрестностью точки , а число − радиусом окрестности.

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу b при увеличении порядкового номера n . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Число b называют пределом последовательности (у n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержат все члены последовательности, начиная с некоторого номера

Теорема 1 Если , , то:

Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:

Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю:

Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:

Теорема 1 Если , , то:

Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:

;

Предел произведения двух функций равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

Предел отношения двух функций равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю:

Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Функцию у=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если предел функции у=f(x) при стремлении x к a равен значению функции в точке х=а.

Первый замечательный предел: .

Практические задания для аудиторной работы

Задайте последовательность аналитически и найдите пять первых членов этой последовательности:

а) каждому натуральному числу ставится в соответствие противоположное ему число;

б) каждому натуральному числу ставится в соответствие квадратный корень из этого числа;

в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число -5;

г) каждому натуральному числу ставится в соответствие половина его квадрата.

2. По заданной формуле n-го члена вычислите пять первых членов последовательности (y n):

3. Является ли последовательность ограниченной?

4. Является ли последовательность убывающей или возрастающей?

5. Запишите окрестность точки a=-3 радиуса r=0,5 в виде интервала.

6. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал (2,1;2,3).

7. Вычислите предел последовательности:

8. Вычислите:

Самостоятельная работа

Вариант 1

Часть А

Часть В

Часть С

7. Вычислите:

Вариант 2

Часть А

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

Часть С

7. Вычислите:

Вариант 3

Часть А

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

Часть С

7. Вычислите:

Вариант 4

Часть А

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

Часть С

7. Вычислите:

Контрольные вопросы

Что называют числовой последовательностью?

Какими способами можно задавать числовую последовательность?

Какая последовательность называется ограниченной сверху?

Какая последовательность называется ограниченной снизу?

Какая последовательность называется возрастающей?

Какая последовательность называется убывающей?

Что называют пределом числовой последовательности?

Перечислите правила вычисления пределов последовательностей.

Перечислите правила вычисления пределов функций.

Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2 можно записать:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y n = f (n ).

Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями

b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид

b n = b 1 q n– 1 .

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , …, b n

пусть S n – сумма ее членов, т.е.

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .

Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .

Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .

Анна Чугайнова

Например, для функции y = n 2 можно записать:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y n = f (n ).

Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Свойства числовых последовательностей.

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Геометрическая прогрессия.

b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид

b n = b 1 q n– 1 .

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , …, b n

пусть S n – сумма ее членов, т.е.

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .

Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

Предел последовательности.

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .

Анна Чугайнова

Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.

Определение .
Числовой последовательностью { x n } называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число x n .
Элемент x n называют n-м членом или элементом последовательности.

Последовательность обозначается в виде n -го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
, , .

Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры последовательностей

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Рассмотрим последовательность . Общий член этой последовательности . Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к : при .

Теперь рассмотрим последовательность с общим членом . Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n , элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к : при .

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Рассмотрим последовательность . Ее общий член . Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0 : при . Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0 с погрешностью . Ясно, что с ростом n эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n , погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0 можно указать такой номер N , что для всех элементов с номерами большими чем N : , отклонение числа от предельного значения a не превзойдет погрешности ε : .

Далее рассмотрим последовательность . Ее общий член . Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n равны . Поэтому, с ростом n , их величины приближаются к предельному значению a = 0 . Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0 , для которой можно найти такой номер N , что элементы, с номерами большими чем N , будут отклоняться от предельного значения a = 0 на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0 : при .

Примеры расходящихся последовательностей

Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:

Вот ее первые члены:

.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0 . Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2 . Сама же последовательность, с ростом n , не сходится ни к какому значению.

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем

.
И так далее.

В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1) . Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала , мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.

Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала . То есть с ростом номера n , члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.

Например, для точки a = 0 можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0 .

Для точки a = 1 выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1 .

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Для этого на плоскости проводим оси p и q . Проводим линии сетки через целые значения p и q . Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
И так далее.

Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице