Главная » LED лампы » Как решить график с модулем. Графики функций с модулем

Как решить график с модулем. Графики функций с модулем

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

Надеюсь, вы внимательно изучили пункт 23 и понимаете, чем отличается функция вида от функции . Теперь разберем еще пару примеров, которые должны вам помочь при построении графиков.

Пример 1. Построить график функции

Имеем функцию вида , где .

1. Построим сначала график подмодульной функции, т. е. функции . Для этого выделим целую часть у этой дроби. Напоминаю, что это можно сделать двумя способами: разделив числитель на знаменатель «в столбик» или расписав числитель так, чтобы в нем появилось выражение, кратное знаменателю. Выполним выделение целой части вторым способом.

Значит, подмодульная функция имеет вид . Значит, ее графиком является гипербола вида , смещенная на 1 единицу вправо и 3 единицы вверх.

Построим этот график.

2. Чтобы получить график искомой функции , необходимо часть построенного графика функции , лежащую выше оси Ох, оставить без изменений, а часть графика, лежащую ниже оси Ох, отобразить симметрично в верхнюю полуплоскость. Выполним эти преобразования.

График построен.

Абсциссу точки пересечения графика с осью Ох можно вычислить, решив уравнение

y = 0, т. е. . Получаем, что .

Теперь по графику можно определять все свойства функции, находить наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке, решать задачи с параметром.

Например, можно ответить на такой вопрос. «При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно одно решение?»

Проведем прямые y = a при различных значениях параметра а . (Тонкие красные прямые на следующем рисунке)

Видно, что если a<0 , то график построенной функции и прямая не имеют общих точек, а значит, уравнение не имеет ни одного решения.

Если 0< a<3 или a>3 , то прямая y = a и построенный график имеют две общие точки, т. е. уравнение имеет два решения.

Если же а = 0 или а = 3 , то уравнение имеет ровно одно решение, т. к. при этих значениях а прямая и график функции имеют ровно одну общую точку.

Пример 2. Построить график функции

Решение

Построим сначала график функции при неотрицательных значениях х. Если , то и тогда наша функция принимает вид , а искомая функция – это функция вида .

Графиком функции является ветвь параболы «направленная» влево, смещенная на 4 единицы вправо . (Т. к. мы можем представить ).

Построим график этой функции

и будем рассматривать только ту его часть, которая расположена правее оси Оy. Остальное сотрём.

Обратите внимание, что мы вычислили значение ординаты точки графика, лежащей на оси ординат. Для этого достаточно вычислить значение функции при х = 0. В нашем случае при х = 0 получили y = 2 .

Теперь построим график функции при х < 0 . Для этого построим линию, симметричную той, что мы уже построили, относительно оси Оу.

Таким образом, мы построили график искомой функции.

Пример 3. Построить график функции

Это задача уже совсем непростая. Видим, что тут присутствуют оба вида функций с модулем: и , и . Будем строить по порядку:

Сначала построим график функции без всех модулей: Затем добавим модуль у каждого аргумента. Получим функцию вида , т. е. . Для построения такого графика нужно применить симметрию относительно оси Оy. Добавим еще и внешний модуль. Получим, наконец, искомую функцию . Т. к. эта функция получена из предыдущей применением внешнего модуля, то мы имеем функцию вида , а значит, необходимо применить симметрию относительно Ох.

Теперь подробнее.

Это дробно-линейная функция, для построения графика нужно выделить целую часть, чем мы и займемся.

Значит, графиком этой функции является гипербола вида , смещенная на 2 вправо и 4 вниз.

Вычислим координаты точек пересечения с осями координат.

y = 0 при х = 0, значит, график пройдет через начало координат.

2. Теперь построим график функции .

Для этого в исходном графике сначала сотрём ту его часть, которая располагается левее оси Оy:

, а затем отобразим ее симметрично относительно оси Оy. Обратите внимание, асимптоты тоже симметрично отображаются!

Теперь построим окончательный график функции: . Для этого часть предыдущего графика, лежащую выше оси Ох, оставим без изменения, а то, что находится ниже оси Ох, симметрично отобразим в верхнюю полуплоскость. Опять-таки не забывайте, что асимптоты отображаются вместе с графиком!

График построен.

Пример 4. Применяя различные преобразования графиков, постройте график функции

Что-то совершенно накрученное и сложное! Куча модулей! А у квадрата икса модуля нет!!! Это невозможно построить!

Так или примерно так может рассуждать среднестатистический ученик 8 класса , незнакомый с техникой построения графиков.

Но не мы! Потому что мы знаем РАЗНЫЕ способы преобразования графиков функций и еще знаем разные свойства модуля.

Итак, начнем по порядку.

Первая проблема – отсутствие модуля у икса в квадрате. Не беда. Знаем, что . Хорошо. Значит, наша функция может быть записана в виде . Это уже лучше, потому что похоже на .

Дальше. У функции есть внешний модуль, поэтому, похоже, придется пользоваться правилами построения графика функции . Посмотрим тогда, что собой представляет подмодульное выражение. Это функция вида . Если бы не -2, то функция опять содержала бы внешний модуль и мы знаем, как построить график функции с помощью симметрий. Ага! Но ведь если мы его построим, то, сместив его на 2 единицы вниз, получим искомое!

Итак, что-то начинает вырисовываться. Попробуем составить алгоритм построения графика.

5. И, наконец, . Всё то, что лежит ниже оси Ох, отобразим симметрично в верхнюю полуплоскость.

Ура! График готов!

Удачи вам в нелегком деле построения графиков!

Введение……………………………………………………………. 3

I. График квадратичной функции, содержащей переменную
под знаком абсолютной величины
1.1. Основные определения и свойства………………………… 4
1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей
переменную под знаком модуля…………………………… 5
II. Построение графика квадратичной функции, содержащей
переменную под знаком модуля, в программе
Microsoft Excel…………………………………………………. 12
Заключение…………………………………………………. …. 15
Список использованной литературы…………………...…….. 16

Введение

Мне приходилось делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.

А. Эйнштейн.

Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа. В школьном курсе математики графики с модулем рассматриваются недостаточно углубленно, именно поэтому мне захотелось расширить свои знания по данной теме, провести собственные исследования.
Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
Объект исследования: график квадратичной функции.
Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
Задачи:
1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции.
2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
3) Научиться стоить графики уравнений, используя различные программы для построения графиков, в том числе Microsoft Excel.
Методы исследования:
1) теоретический (логическая ступень познания);
2) эмпирический (исследование, эксперимент);
3) моделирование.
Практическая значимость моей работы заключается:
1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям;
2)в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

I. График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины

1.1. Основные определения и свойства.

Функция – одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у.
Способы задания функции:
1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);
2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы);
3) описательный способ (функция задается словесным описанием);
4) графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Функция, определяемая формулой у=ах2+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а 0, называется квадратичной.
График функции у=ах2+вх+с есть парабола; осью симметрии параболы у=ах2+вх+с является прямая, при а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 – вниз.
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости;
2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
, .

Абсолютной величиной положительного числа называется само положительное число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютная величина нуля принимается равной нулю, т.е.

.
Свойства:
1) Абсолютная величина суммы чисел не больше суммы абсолютных величин её слагаемых, т.е.
|а+в| |а|+|в|
2) Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т.е.
|а-в| |а|-|в| или |а-в| |в|-|а|
3) Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей, т.е.
|а в|=|а| |в|
4) Абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютных величин делимого и делителя, т.е.

5) Абсолютная величина степени с целым положительным показателем равна той же степени абсолютной величины основания, т.е.
|аn|=|a|n.

1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.

…Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно.
А.Н. Колмогоров.

Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. В результате ось Ох разбивается на промежутки. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.
В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох.

Покажем на примерах некоторые приемы построения графиков функций с модулями.

Пример 1.
Сначала построим параболу у= х2– 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х + 5|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1).

Пример 2.
Рассмотрим график функции у = |х|2– 6х +5.
Т. к. |х| возводится в квадрат, то независимо от знака числа х после возведения в квадрат он будет положительным. Отсюда следует, то график функции у =|х|2 - 6х +5 будет идентичен графику функции у = х2 - 6х +5, т.е. графику функции, не содержащей знака абсолютной величины (Рис.2).

Рис.2
Пример 3.
Рассмотрим график функции у = х2 – 6|х| +5.
Воспользовавшись определением модуля числа, заменим формулу
у = х2 – 6|х| +5
Теперь мы имеем дело с хорошо знакомым нам кусочным заданием зависимости. Строить график будем так:
1) построим параболу у = х2 - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси Оу.
2) в той же координатной плоскости построим параболу у = х2 +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х2 - 6|х| +5 (Рис.3).

Пример 4.
Рассмотрим график функции у = |х|2 - 6|х|+5.
Т.к. график уравнения у = |х|2 – 6х +5 такой же, как и график функции без знака модуля (рассмотрено в примере 2) то следует, что график функции у = |х|2 – 6|х| +5 идентичен графику функции у = х2 – 6|х| +5, рассмотренному в примере 3 (Рис.3).

Пример 5.
Для этого построим график функции у = х2 - 6х. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси х, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам нужно построить график функции у = |х2 - 6х| +5, то график рассмотренной нами функции у = |х2 - 6х| нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх (Рис.4).

Пример 6.

Построим график функции у = х2 - |6х+5|. Для этого воспользуемся хорошо нам известной кусочной функцией. Найдём нули функции

у = 6х +5
6х + 5 = 0 при.
Рассмотрим два случая:
1)Если, то уравнение примет вид у = х2 – 6х -5. Построим эту параболу и обведём ту её часть, где.
2)Если, то уравнение принимает вид у = х2+ 6х +5. Постоим эту параболу и обведём ту её часть, которая расположена левее точки с координатами (Рис.5).

Пример 7 .
Для этого мы построим график функции у =х2- 6|х| +5. Построение этого графика мы проводили в примере 3. Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции у = |х2 – 6|х| +5|, нужно каждую точку графика функции у = х2 – 6|х|+5 с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой, т.е. часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси Ох (Рис.6).

Рис.6
Пример 8.
Рассмотрим построение графиков вида = f (x).
Учитывая, что в формуле = f (x), f (x) , и на основании определения модуля =
Перепишем формулу = f (x) в виде у= f (x), где f (x) .
Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм.
Для построения графиков вида = f (x) достаточно построить график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
Таким образом, график зависимости = f (x) состоит из графиков двух функций: у = f (x) и у = - f (x).
Построим график функции.

Дальнейшее вставление рисунков и формул технически невозможно
Рис.7

Пример 9.
Рассмотрим построение графиков вида
Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполним построение сначала графика y = │f (x)│, а затем уже и множества точек, координаты которых удовлетворяют условию
Алгоритм построения:
1) Строим график функции.
2) Часть графика симметрично отображаем относительно оси Ох.
3) Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох (Рис.8).
Рис.8

Выводы:
1.График функции y = │f (x)│ можно получить из графика y = f (x), оставив на месте ту его часть, где f (x) , и симметрично отразив относительно оси Ох другую его часть, где f (x) < 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2.График функции y = f (│x│) совпадает с графиком функции y = f (x) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси Оу на множестве отрицательных значений аргумента.
3. График функции = f (x) можно получить, построив график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразив полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
4. График функции можно получить, построив график функции
у = f (x) и симметрично отобразив относительно оси Ох часть графика. Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.

II. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, в программе Microsoft Excel.

Пример 1.
Построим график функции у = |х2 – 6х +5|.

Пример 2.
Построим график функции у = х2 – 6|х| +5.

Пример 3.
Построим график функции у = |х2 – 6х| +5.

Пример 4.
Построим график функции у = х2 - |6х+5|.

Пример 5.
Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|.

Пример 6.
Построим график функции.

Пример 7.
Построим график функции.

Заключение

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью.
Л. Н. Толстой.

Считаем, что в данной исследовательской работе цель достигнута, так как были решены все поставленные задачи.
Нами рассмотрено построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, и исследованы изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Были освоены приёмы построения графиков функций вида: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Для написания данной исследовательской работы
1) была изучена литература о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции;
2) исследованы и проанализированы изменения при построении графика квадратичной функции, в которой знак модуля содержат различные переменные;
3) построены графики уравнений с использованием программ для построения графиков Graph Master v 1.1, Microsoft Excel и другие;
При написании работы мы пользовались учебной литературой, Интернет-ресурсами, работали в таких программах, как Microsoft Word, Paint, Редактор формул, Microsoft Excel.
Тема исследований оказалась очень многогранной, требующей совершенно новых умений и навыков как на этапе исследований, так и при написании и оформлении работы.
Данный практический опыт работы с программами для построения графиков, для записи математических формул, а также полученные навыки исследовательской деятельности будут использованы нами в дальнейшей учебной деятельности, в том числе при изучении других функций и уравнений с модулем, при построении графиков этих функций.

Список использованной литературы

1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: М.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева; Под ред. Г. В. Дорофеева. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 352 с.: ил.
2. Курс высшей математики для техникумов. И. Ф. Суворов, Москва - 1967.
3. Математика. Алгебра и элементарные функции. М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев.
4. А.Г. Мордкович Книга для учителя. Беседы с учителями. Москва – «Оникс 21 век», «Мир и образование», 2005 г.
5.Элективный курс. Знакомьтесь: модуль! Алгебра. 8-9 классы./ Сост. Баукова Т.Т.-Волгоград: ИТД «Корифей».- 96 с.

Интернет – ресурсы

http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.

1. Построение графиков функций, содержащих модуль

Пример 1.

Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).

Пример 2.

Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.

– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).

– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).

Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).

Пример 3.

Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Ответ: рисунок 3.

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:

2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»

Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.

Пример 4.

Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».

Решение.

Воспользуемся методом геометрических преобразований.

Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.

Пример 5.

Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Решение.

Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Раскроем в знаменателе модуль:

При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).

Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значений E(y) = (-4; +∞).

Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).

Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.

Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.

Пример 6.

Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;

{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;

{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;

{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогда исходная функция будет иметь вид:

{3, при x ≥ 2;

y = {-3, при x < -1;

{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.

3. Алгоритм построения графиков функций вида

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.

В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?

Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:

Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.

Задача.

Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.

Решение:

Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – .

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

1. Построение графиков функций, содержащих модуль

Пример 1.

Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Пример 2.

Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.

– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).

– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).

Пример 3.

Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Ответ: рисунок 3.

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:

2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»

Пример 4.

Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».

Решение.

Воспользуемся методом геометрических преобразований.

Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Пример 5.

Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Решение.

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Раскроем в знаменателе модуль:

При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).

Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значений E(y) = (-4; +∞).

Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).

Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.

Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.

Пример 6.

Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;

{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;

{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;

{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогда исходная функция будет иметь вид:

{3, при x ≥ 2;

y = {-3, при x < -1;

{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.

3. Алгоритм построения графиков функций вида

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.

Задача.

Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.

Решение:

Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Эрднигоряева Марина

Данная работа является результатом изучения темы на факультативе в 8 классе. Здесь показываются геометрические преобразования графиков и их применение к построению графиков с модулями. Вводится понятие модуля и его свойства. Показано как строить графики с модулями различными способами: с помощью преобразований и на основе понятия модуля.Тема проекта является одной из трудных в курсе математики, относится к вопросам, рассматриваемых на факультативах,изучается в классах с улгубленным изучением математики. Тем не меннн такие задания даются во второй части ГИА, в ЕГЭ. Данная работа поможет понять как строить графики с модулями не только линейных, но и других функций(квадратичных, обратно- пропорциональных и др.) Работа поможет при подготовке к ГИА и ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Графики линейной функции с модулями Работа Эрднигоряевой Марины, ученицы 8 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики МКОУ « Камышовская ООШ» с. Камышово, 2013г.

Цель проекта: Ответить на вопрос как строить графики линейных функций с модулями. Задачи проекта: Изучить литературу по данному вопросу. Изучить геометрические преобразования графиков и их применение к построению графиков с модулями. Изучить понятие модуля и его свойства. Научиться строить графики с модулями различными способами.

Прямая пропорциональность Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx , где x –независимая переменная, k -не равное нулю число.

Построим график функции y = x x 0 2 y 0 2

Геометрическое преобразование графиков Правило №1 График функции y = f (x)+ k – линейная функция - получается параллельным переносом графика функции y = f (x) на + k единиц вверх по оси О y при k> 0 или на |- k| единиц вниз по оси О y при k

Построим графики y=x+3 y=x-2

Правило № 2 График функции y=kf(x) получается растягиванием графика функции y = f (x) вдоль оси О y в a раз при a>1 и сжатием вдоль оси О y в a раз при 0Слайд 9

Построим график y=x y= 2 x

Правило № 3 График функции y =- f (x) получается симметричным отображением графика y = f (x) относительно оси О x

Правило № 4 График функции y=f(- x) получается симметричным отображением графика функции y = f (x) относительно оси О y

Правило № 5 График функции y=f(x+c) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси О x вправо, если c 0 .

Построим графики y=f(x) y=f(x+2)

Определение модуля Модуль неотрицательного числа а равен самому числу а; модуль отрицательного числа а равен противоположному ему положительному числу -а. Или, |а|=а, если а ≥0 |а|=-а, если а

Графики линейных функций с модулями строятся: с использованием геометрических преобразований с помощью раскрытия определения модуля.

Правило № 6 График функции y=|f(x)| получается следующим образом: часть графика y=f(x) , лежащая над осью О x , сохраняется; часть, лежащая под осью О x , отображается симметрично, относительно оси О x .

Построить график функции y=-2| x-3|+4 Строим y ₁=| x | Строим y₂= |x - 3 | → параллельный перенос на +3 единицы вдоль оси Ох (сдвиг вправо) Строим y ₃ =+2|x-3| → растягиваем вдоль оси О y в 2 раза = 2 y₂ Строим у ₄ =-2|x-3| → симметрия относительно оси абсцисс = - y₃ Строим y₅ =-2|x-3|+4 → параллельный перенос на +4 единицы вдоль оси О y (сдвиг вверх) = y ₄ +4

График функции y =-2|x-3|+4

График функции у= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → растяжение в 3 раза y₃=3|x| +2= y₄+2 → сдвиг вверх на 2 единицы

Правило № 7 График функции y=f(| x |) получается из графика функции y=f(x) следующим образом: При x > 0 график функции сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси О y

Построить график функции y = || x-1 | -2 |

У₁= |х| у₂=|х-1| у₃= у₂-2 у₄= |у₃| У=||х-1|-2|

Алгоритм построения графика функции y=│f(│x│)│ построить график функции y=f(│x│) . далее оставить без изменений все части построенного графика, которые лежат выше оси x . части, расположенные ниже оси x , отобразить симметрично относительно этой оси.

У=|2|х|-3| Построение: а) у= 2х-3 для х >0, б) у=-2х-3 для х Слайд 26

Правило № 8 График зависимости | y|=f(x) получается из графика функции y=f(x) если все точки, для которых f(x) > 0 сохраняются и они же симметрично переносятся относительно оси абсцисс.

Построить множество точек на плоскости, декартовы координаты которых х и у удовлетворяют уравнению |у|=||х-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| строим два графика 1) у=||х-1|-1| и 2) у =-|| х-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → сдвиг по оси Ох вправо на 1 единицу y₃ = | x -1 |- 1= → сдвиг на 1 единицу вниз y ₄ = || x-1|- 1| → симметрия точек графика для которых y₃ 0 относительно О x

График уравнения |y|=||x-1|-1| получаем следующим образом: 1)строим график функции y=f(x) и о с тавляем без изменений ту его часть, где y≥0 2) с помощью симметрии относительно оси Оx построим другую часть графика, соответствующую y

Построить график функции y =|x | − | 2 − x | . Решение. Здесь знак модуля входит в два различных слагаемых и его нужно снимать. 1) Найдём корни подмодульных выражений: х=0, 2-х=0, х=2 2) Установим знаки на интервалах:

График функции

Вывод Тема проекта является одной из трудных в курсе математики, относится к вопросам, рассматриваемых на факультативах, изучается в классах по углубленному изучению курса математики. Тем не менее такие задания даются во второй части ГИА. Данная работа поможет понять как строить графики с модулями не только линейных функций, но и других функций(квадратичных, обратно пропорциональных и др.). Работа поможет при подготовке к ГИА и ЕГЭ и позволит получить высокие баллы по математике.

Литература Виленкин Н.Я. , Жохов В.И.. Математика”. Учебник 6 класс Москва. Издательство “ Мнемозина”, 2010г Виленкин Н.Я., Виленкин Л.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра. 8 класс: учебн. Пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – Москва. Просвещение, 2009 г Гайдуков И.И. “Абсолютная величина”. Москва. Просвещение, 1968. Гурский И.П. “Функции и построение графиков”. Москва. Просвещение, 1968. Ящина Н.В. Приёмы построения графиков, содержащих модули. Ж/л «Математика в школе»,№3,1994г Детская энциклопедия. Москва. «Педагогика», 1990. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987 . Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 301 с. Макрычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 9 кл.: Учебное пособие для учащихся школы и классов с углубленным изучением математики / Под редакцией Г.В.Дорофеева. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с. Садыкина Н. Построение графиков и зависимостей, содержащих знак модуля /Математика. - №33. – 2004. – с.19-21 .. Кострикина Н.П “ Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов ”... Москва.: Просвещение, 2008г.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Похожие статьи