Главная » LED ленты » Деление на 6 и на 7. Старт в науке

Деление на 6 и на 7. Старт в науке

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
Признак делимости на 7 часто пропускается;
Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

Для14: на 2 и на 7;
Для 15: на 3 и на 5;
Для 18: на 2 и на 9;
Для 21: на 3 и на 7;
Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
Для 24: на 3 и на 8;
Для 26: на 2 и на 13;
Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,

Существуют признаки, по которым иногда легко узнать, не производя деления на самом деле, делится или не делится данное число на некоторые другие числа.

Числа, которые делятся на 2, называют чётными . Число нуль тоже относится к чётным числам. Все остальные числа называют нечётными :

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - чётные,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - нечётные.

Признаки делимости

Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Например, число 4376 делится на 2, так как последняя цифра (6) - чётная.

Признак делимости на 3 . На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, число 10815 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 делится на 3.

Признаки делимости на 4 . Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например, число 244500 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Числа 14708 и 7524 делятся на 4, так как две последние цифры этих чисел (08 и 24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5 . На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Например, число 320 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признак делимости на 6 . Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Например, число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8 . На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8. Например, число 27000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями. Число 63128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признак делимости на 9 . На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9. Например, число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и т. д. На 10, 100, 1000 и так далее делятся те числа, которые оканчиваются соответственно одним нулём, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Например, число 3800 делится на 10 и на 100.

Продолжим знакомство с признаками делимости . Сейчас мы изучим признак делимости на 6 . Сначала приведем его формулировку. Дальше рассмотрим примеры применения признака делимости на 6 . После этого докажем признак делимости на 6 . В заключение остановимся на примерах, в которых доказывается делимость на 6 значений некоторых выражений.

Навигация по странице.

Признак делимости на 6, примеры

Формулировка признака делимости на 6 объединяет в себе признак делимости на 2 и признак делимости на 3 . Она такова: если запись целого числа оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , а также сумма цифр в записи числа делится на 3 , то такое число делится на 6 ; если же нарушено хотя бы одно из указанных условий, то число не делится на 6 . Другими словами, целое число делится на 6 тогда и только тогда, когда это число делится на 2 и на 3 .

Итак, признак делимости на 6 применяется в два этапа:

На первом этапе проверяется делимость числа на 2 . Для этого рассматривается последняя цифра в записи числа. Если запись числа оканчивается цифрой 2 , то это число делится на 2 , и для дальнейшей проверки его делимости на 6 переходим ко второму этапу. Если же последняя цифра в записи числа отлична от 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то число не делится на 2 , следовательно, не делится и на 6 .
На втором этапе проверяется делимость числа на 3 . Для этого вычисляется сумма цифр исходного числа и проверяется, делится ли она на 3 (например, при помощи признака делимости на 3 ). Если сумма цифр делится на 3 , то число делится на 3 , и, учитывая его делимость на 2 (установленную на предыдущем этапе), можно делать вывод о делимости числа на 6 . Если же сумма цифр исходного числа не делится на 3 , то это число не делится на 3 , следовательно, не делится и на 6 .

Теперь можно рассмотреть конкретные примеры применения признака делимости на 6 .

Пример.

Делится ли число 8 813 на 6 ?

Решение.

Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся признаком делимости на 6 . Так как запись числа 8 813 оканчивается цифрой 3 , то можно делать вывод, что число 8 813 на 6 не делится.

Ответ:

Нет.

Пример.

Возможно ли разделить 934 на 6 без остатка?

Решение.

Число 934 оканчивается цифрой 4 , поэтому первое условие признака делимости на 6 выполняется. Проверим, делится ли сумма цифр числа 934 на 3 . Имеем 9+3+4=16 , а 16 на 3 не делится. Следовательно, второе условие признака делимости на 6 не выполняется, поэтому исходное число на 6 не делится.

Ответ:

Нет.

Пример.

Делится ли число −7 269 708 на 6 ?

Решение.

Последней цифрой в записи данного числа является 8 , значит первое условие признака делимости на 6 выполнено. Теперь находим сумму цифр числа −7 269 708 , имеем 7+2+6+9+7+0+8=39 . Так как 39 делится на 3 (39:3=13 ), то можно делать вывод о делимости исходного числа на 6 .

Ответ:

Да, делится.

В заключение этого пункта отметим, что для проверки делимости заданного числа на 6 можно выполнить деление непосредственно, а не прибегать к признаку делимости на 6 .

Доказательство признака делимости на 6

Приведем доказательство признака делимости на 6 . Для удобства используем формулировку этого признака в форме необходимого и достаточного условия.

Теорема.

Для делимости целого числа a на 6 необходимо и достаточно, чтобы число a делилось на 2 и на 3 .

Доказательство.

Сначала докажем необходимость, то есть докажем, что если целое число a делится на 6 , то оно делится на 2 и на 3 .

Для этого нам понадобится следующее свойство делимости : если целое число a делится на b , то произведение m·a , где m – любое целое число, тоже делится на b .

Так как a делится на 6 , то понятие делимости позволяет нам записать равенство a=6·q , где q – некоторое целое число. В записанном произведении множитель 6 делится и на 2 и на 3 , тогда из указанного выше свойства делимости следует, что произведение 6·q делится и на 2 и на 3 . Этим доказана необходимость.

Чтобы признак делимости на 6 оказался полностью доказанным, осталось доказать достаточность. Докажем, что если целое число a делится на 2 и на 3 , то оно делится на 6 .

Здесь нам потребуется теорема из статьи основная теорема арифметики . Вот ее формулировка: если произведение нескольких целых положительных и отличных от единицы множителей делится на простое число p , то хотя бы один множитель делится на p .

Так как целое число a делится на 2 , то существует такое целое число q , что a=2·q . Но целое число a=2·q делится и на 3 , откуда 2·q должно делиться на 3 . Так как 2 на 3 не делится, то в силу указанной выше теоремы на 3 должно делиться q . Тогда существует такое целое число q 1 , что q=3·q 1 . Следовательно, a=2·q=2·3·q 1 =6·q 1 . Из полученного равенства следует делимость числа a на 6 . Этим доказана достаточность.

Другие случаи делимости на 6

В этом пункте мы остановимся на способах доказательства делимости на 6 значения заданного при указанном значении переменной. В этих случаях (когда целое число задано не в явном виде) непосредственное деление и применение признака делимости на 6 часто невозможно, поэтому нужен другой подход к решению.

Один из подходов основан на утверждении: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение делится на это число. То есть, если заданное выражение представить в виде произведения, в котором один из множителей будет делиться на 6 , то этим будет доказана делимость на 6 исходного выражения. Осталось обговорить способы представления в виде произведения.

Иногда представить заданное выражение в виде нужного произведения позволяет . Рассмотрим пример.

Пример.

Делится ли на 6 значение выражения при некотором натуральном n .

Решение.

Число 7 равно сумме 6+1 , поэтому . Теперь применим формулу бинома Ньютона, после чего проведем необходимые преобразования:

Так мы пришли к произведению, которое делится на 6 , так как оно содержит множитель 6 , а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n (так как сумма и произведение натуральных чисел есть натуральное число). Следовательно, значение исходного выражения при любом натуральном n делится на 6 .

Ответ:

Да.

Если выражение задано в виде многочлена, то иногда получить произведение с множителем, делящимся на 6 , позволяет . После чего переменной n в полученном разложении придаются значения n=6·m , n=6·m+1 , n=6·m+2 , …, n=6·m+5 , где m – целое число. Если будет показана делимость при каждом таком n , то этим будет доказана делимость исходного выражения на 6 при любом целом n .

Пример.

Докажите, что при любом целом n значение выражения делится на 6 .

Решение.

Разложение на множители данного выражения имеет вид .

При n=6·m имеем . В полученном произведении содержится множитель 6 , поэтому оно делится на 6 при любом целом m .

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ чисел - простейшие критерии (правила), позволяющие судить о делимости (без остатка) одних натуральных чисел на другие. Решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами, обычно выполняемым в уме.
Так как основанием общепринятой системы счисления является 10, то наиболее простыми и распространенными являются признаки делимости на делители чисел трех видов: 10 k , 10 k - 1, 10 k + 1 .
Первый вид - признаки делимости на делители числа 10 k , для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10 k необходимо и достаточно, чтобы последняя k-циферная грань (к-циферное окончание) числа N делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 = 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) и 10 3 = 1000 (I 3):
I 1 . На 2, 5 и 10 - одноциферное окончание (последняя цифра) числа должно делиться соответственно на 2, 5 и 10. Например, число 80 110 делится на 2, 5 и 10, так как последняя цифра 0 этого числа делится на 2, 5 и 10; число 37 835 делится на 5, но не делится на 2 и 10, так как последняя цифра 5 этого числа делится на 5. но не делится на 2 и 10.

I 2 . На 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100-двуциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100. Например, число 7 840 700 делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100, так как двуциферное окончание 00 этого числа делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100; число 10 831 750 делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100, так как двуциферное окончание 50 этого числа делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100.

I 3 . На 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000 - трехциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2,4,5,8,10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000. Например, число 675 081 000 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится трехциферное окончание 000 заданного числа; число 51 184 032 делится на 2, 4 и 8 и не делится на остальные, так как трехциферное окончание 032 заданного числа делится только на 2, 4 и 8 и не делится на остальные.

Второй вид - признаки делимости на делители числа 10 k - 1: для делимости любого целого числа N на любой целый делительq числа 10 k - 1 необходимо и достаточно, чтобы сумма k-циферных граней числа N делилась на q. В частности (при к=1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1=99 (II 2) и 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . На 3 и 9 -сумма цифр (одноциферных граней) числа должна делиться соответственно на 3 и 9. Например, число 510 887 250 делится на 3 и 9, так как сумма цифр 5+1+0+8+8+7+2+5+0=36 (и 3+6=9) этого числа делится на 3 и 9; число 4 712 586 делится на 3, но не делится на 9, так как сумма цифр 4+7+1+2+5+8+6=33 (и 3+3=6) этого числа делится на 3, но не делится на 9.

II 2 . На 3, 9, 11, 33 и 99 - сумма двуциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 11, 33 и 99. Например, число 396 198 297 делится на 3, 9, 11, 33 и 99, так как сумма двуциферных граней 3+96+19+ +82+97=297 (и 2+97=99) делится на 3, 9,11, 33 и 99; число 7 265 286 303 делится на 3, 11 и 33, но не делится на 9 и 99, так как сумма двуциферных граней 72+65+28+63+03=231 (и 2+31=33) этого числа делится на 3, 11 и 33 и не делится на 9 и 99.

II 3 . На 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999 - сумма трехциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999. Например, число 354 645 871 128 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится сумма трехциферных граней 354+645+ +871 + 128=1998 (и 1 + 998 = 999) этого числа.

Третий вид - признаки делимости на делители числа 10 k + 1: для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10 k + 1 необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой k-циферных граней, стоящих в N на четных местах, и суммой k-циферных граней, стоящих в N на нечетных местах, делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 + 1 =11 (III 1), 10 2 + 1 = 101 (III 2) и 10 3 +1 = 1001 (III 3).

III 1 . На 11 - разность между суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на четных местах, и суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на нечетных местах, должна делиться на 11. Например, число 876 583 598 делится на 11, так как разность 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (и 1 - 1=0) между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.

III 2 . На 101 - разность между суммой двуциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться на 101. Например, число 8 130 197 делится на 101, так как разность 8-13+01-97 = 101 (и 1-01=0) между суммой двуциферных граней, стоящих в этом числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, делится на 101.

III 3 . На 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001 - разность между суммой трехциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой трехциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться соответственно на 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001. Например, число 539 693 385 делится на 7, 11 и 77, но не делится на 13, 91, 143 и 1001, так как 539 - 693+385=231 делится на 7, 11 и 77 и не делится на 13, 91, 143 и 1001.

На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
Признак делимости на 7 часто пропускается;
Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.